飲み物のラムネが先です。

ラムネ = lemonade（レモネード）がなまった言葉です。 昔、日本に入ってきた炭酸レモネードが「レモネード → ラムネ」っぽく呼ばれるようになって定着しました。日本清涼飲料連合会も、レモネードが訛って「ラムネ」になったと説明しています。(全国清涼飲料連合会)

で、お菓子のラムネは後から、

飲み物のラムネっぽい、甘酸っぱい・スッとする・シュワっとする感じの菓子

だから「ラムネ菓子」と呼ばれるようになった、という流れです。森永のラムネも「シュワっとした食感」「さわやかな味わい」のラムネ菓子として説明されています。(森永製菓株式会社)

つまりまとめると：

lemonade
  ↓ なまる
飲み物の「ラムネ」
  ↓ 味・清涼感・イメージを借りる
お菓子の「ラムネ」

なので、同じ名前なのは偶然ではなく、お菓子の方が飲み物のラムネのイメージを引き継いだからです。